Relasi Rekursif

1.      Ada barisan yang memenuhi relasi rekursi  a_n = 3a_n-1+ 4_n-2 untuk n ≥ 2. Diketahui bahwa A₀ = 3 dan a₁ = 4 . Tentukan nilai dari a_2, a₃ dan a₄

Jawab:

a₂         = 3a_2-1 + 4a_2-2

            = 3a₁ + 4a₀

                = 3 (4) + 4 (3)

a₂         = 24

a₃            = 3a_3-1 + 4a_3-2

            = 3a₂ + 4a₁

                = 3 (24) + 4 (4)

a₃            = 96

a₄            = 3a_4-1 + 4a_4-2

                = 3a_{3 ­}+ 4a₂

                = 3 (96) + 4 (24)

a₄            = 384

2.      Ada barisan yang memenuhi relasi rekursi a_{n ­}– 2a_{n-1 ­}– 3_n-2 = 0 untuk n ≥ 2. Diketahui bahwa a₀ = 01 dan a₁ = 0. Tentukan nilai dari a₂ dan a₃!

Jawab:

Memindahkan suku selain a_n ke sebelah kanan menjadi a_n = 2_n-1 + 3a_n-2

Kemudian, menjumlahkan persamaan tersebut dgn memasukkan suku n = 2 dan n = 3

a₂             = 2a_2-1 + 3a_2-2

                = 2a₁ + 3a₀

                = 3 (0) + 4 (-1)

a₂            = -4

a₃            = 2a_3-1 + 3a_3-2

                = 2a₂ + 3a₁

                = 2 (-3) + 3 (0)

a₃            = -6

3.      Ada barisan yang memenuhi relasi rekursi a_n – a_n-1 - 5_5-2 + 4a_n-3 = 0 untuk n ≥ 3. Diketahui bahwa a₀  = -1, a₁ = 0, a₂ = 1. Tentukan nilai dari a₃!

Jawab:

Memindahkan suku selain ke sebelah kanan menjadi a_n = a_n-1 + a_n-1 + 5a_{n-2 ­}– 4a_n-3

Kemudian, menjumlahkan persamaan tersebut dgn memasukkan suku n = 4

a₃            = 2a_2-1 + 3a_2-2

                = 2a₁ + 3a₀

                = 3 (0) + 4 (-1)

a₃            = -4

3.      Diketahui : Suatu barisan c₀, c₁, c₂, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,

C_k = (c_k-1 + k) (c_k-2 + 1)

Dengan kondisi awal c₀ = 1 dan c₁ = 2.

Ditanya : Hitunglah c₅ !

Penyelesaian :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c₅ tidak bisa dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c₂, c₃ dan c₄.

·         C₂ = c₁ + 2.c0 + 1 =

2 + 2.1 + 1 = 5

·         C₃= c₂ + 3 c₁ + 1 =

5 + 3.2 + 1 = 12

·         C₄= c₃ + 4 c₂ + 1 =

12 + 4.5 + 1 = 33

·         C₅= c₄ + 5 c₃ + 1 =

33 + 5.12 + 1 = 94

Jadi, c₅ = 94

4.      Tentukan baringan yang merupakan solusi dari Relasi Rekursi

a_n = 3a_n-1, jika diketahui a­₀ = 2.

Jawab :

a_n = 3a_n-1

a_n = 3(3a_n-2) = 3².a_n-2

a_n = 3(3(3a_n-3)) = 3³ . a_n-3

.

.

.

a_n = 3ⁿ.a_n-n = 3ⁿ.a₀

a_n = 2 . 3ⁿ

Sehingga barisan a_n = 2 . 3ⁿ merupakan solusi dari Relasi Rekursi a_n = 3a_n-1 dengan nilai awal a₀ = 2.